Problèmes Mathématiques 5ème - Résolution de problèmes

Problèmes du quotidien

Référence littéraire - Le Comte de Monte-Cristo

Alexandre Dumas

"Pour apprendre le calcul, il faut y mettre de l'intérêt. [...] Vous allez en voyage, votre précepteur vous accompagne, vous avez 100 louis dans votre bourse. On vous en prend la moitié, combien vous en reste-t-il ?"

Dans cette scène, le tuteur enseigne les mathématiques en utilisant des problèmes concrets et significatifs pour son élève.

Niveau 1 - Base

Niveau 2 - Intermédiaire

Niveau 3 - Avancé

Paul achète 3 cahiers à 2,50 € chacun et 2 stylos à 1,75 € chacun. Combien dépense-t-il au total ?

Calcule d'abord le coût des cahiers, puis celui des stylos, et additionne les deux sommes.

Solution

Coût des cahiers : 3 × 2,50 € = 7,50 €
Coût des stylos : 2 × 1,75 € = 3,50 €
Coût total : 7,50 € + 3,50 € = 11,00 €

Emma veut partager équitablement 24 bonbons entre elle et ses 3 amis. Combien de bonbons chaque personne recevra-t-elle ?

Calcule le nombre total de personnes, puis divise le nombre de bonbons par ce nombre.

Solution

Nombre total de personnes : Emma + 3 amis = 4 personnes
Nombre de bonbons par personne : 24 ÷ 4 = 6 bonbons

Un train part à 14h25 et arrive à destination à 17h10. Quelle est la durée du trajet en minutes ?

Convertis les heures et les minutes en minutes, puis calcule la différence.

Solution

Heure de départ en minutes : 14h25 = 14 × 60 + 25 = 865 minutes
Heure d'arrivée en minutes : 17h10 = 17 × 60 + 10 = 1030 minutes
Durée du trajet : 1030 - 865 = 165 minutes

Thomas a dépensé 40% de son argent de poche pour un livre et 25% du reste pour un magazine. Il lui reste 36 €. Combien avait-il au départ ?

Si on note x la somme initiale, calcule combien il lui reste après les deux achats, puis résous l'équation.

Solution

Soit x la somme initiale.
Après l'achat du livre, il reste : x - 0,4x = 0,6x
Après l'achat du magazine, il reste : 0,6x - 0,25 × 0,6x = 0,6x × 0,75 = 0,45x
On sait que 0,45x = 36 €
D'où x = 36 ÷ 0,45 = 80 €

Un robinet remplit un bassin en 6 heures. Un second robinet peut le remplir en 4 heures. Si les deux robinets fonctionnent ensemble, combien de temps faudra-t-il pour remplir le bassin ?

Calcule le débit de chaque robinet en fraction du bassin par heure, puis additionne ces débits.

Solution

Débit du premier robinet : 1/6 du bassin par heure
Débit du second robinet : 1/4 du bassin par heure
Débit total : 1/6 + 1/4 = (4 + 6)/24 = 10/24 = 5/12 du bassin par heure
Temps de remplissage : 1 ÷ (5/12) = 12/5 = 2,4 heures

Une boutique propose une réduction de 20% sur un article, puis une remise supplémentaire de 15% sur le prix soldé. Si le prix final est de 68 €, quel était le prix initial ?

Calcule le coefficient multiplicateur après les deux réductions successives, puis utilise-le pour trouver le prix initial.

Solution

Après la première réduction de 20%, le prix est multiplié par 0,8
Après la seconde réduction de 15%, le prix est multiplié par 0,85
Au total, le prix est multiplié par 0,8 × 0,85 = 0,68
Si on note x le prix initial, on a : 0,68x = 68 €
D'où x = 68 ÷ 0,68 = 100 €

Problèmes de géométrie

Référence littéraire - Vendredi ou la Vie sauvage

Michel Tournier

"Robinson décida de diviser son île en parcelles égales. Il mesura soigneusement chaque côté, calcula les surfaces et traça les frontières avec des piquets."

Robinson utilise ses connaissances en géométrie pour organiser son espace sur l'île, illustrant l'application pratique des mathématiques dans des situations concrètes.

Niveau 1 - Base

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Niveau 3 - Avancé

Un rectangle a une longueur de 12 cm et une largeur de 7 cm. Quelle est son aire ?

L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.

Solution

Aire du rectangle = longueur × largeur = 12 cm × 7 cm = 84 cm²

Un triangle a une base de 8 cm et une hauteur de 5 cm. Calcule son aire.

L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Solution

Aire du triangle = (base × hauteur) ÷ 2 = (8 cm × 5 cm) ÷ 2 = 40 cm² ÷ 2 = 20 cm²

Une piscine circulaire a un rayon de 3 mètres. Quelle est l'aire de cette piscine en m² ? (Prends π = 3,14)

L'aire d'un cercle est donnée par la formule A = πr², où r est le rayon.

Solution

Aire du cercle = π × r² = 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 m²

Un trapèze a des bases parallèles de 15 cm et 9 cm, et une hauteur de 6 cm. Calcule son aire.

L'aire d'un trapèze est égale à la moyenne des longueurs des bases multipliée par la hauteur.

Solution

Aire du trapèze = (base1 + base2) × hauteur ÷ 2 = (15 cm + 9 cm) × 6 cm ÷ 2 = 24 cm × 6 cm ÷ 2 = 72 cm²

Un cube a une arête de 5 cm. Calcule son volume et sa surface totale.

Le volume d'un cube est égal à l'arête au cube (a³). La surface totale est égale à 6 fois l'aire d'une face (6a²).

Solution

Volume du cube = a³ = 5³ = 125 cm³
Surface totale = 6a² = 6 × 5² = 6 × 25 = 150 cm²

Un cylindre a un rayon de base de 4 cm et une hauteur de 10 cm. Calcule son volume en cm³. (Prends π = 3,14)

Le volume d'un cylindre est donné par la formule V = πr²h, où r est le rayon de la base et h est la hauteur.

Solution

Volume du cylindre = π × r² × h = 3,14 × 4² × 10 = 3,14 × 16 × 10 = 502,4 cm³

Problèmes de proportionnalité

Référence littéraire - Matilda

Roald Dahl

"Si j'achète 17 kilos de pommes de terre à 0,43 € le kilo, combien devrais-je payer ?" Matilda donna la réponse en quelques secondes.

Dans ce roman, la jeune Matilda montre ses capacités exceptionnelles en résolvant rapidement des problèmes mathématiques complexes, illustrant comment les mathématiques peuvent être un outil d'émancipation.

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Niveau 2 - Intermédiaire

Niveau 3 - Avancé

Si 3 kg de pommes coûtent 4,50 €, combien coûtent 5 kg de pommes ?

Utilise la règle de trois ou calcule d'abord le prix au kilo, puis multiplie par 5.

Solution

Prix au kilo = 4,50 € ÷ 3 = 1,50 € par kg
Prix pour 5 kg = 5 × 1,50 € = 7,50 €

Pour faire un gâteau pour 6 personnes, il faut 300 g de farine. Quelle quantité de farine faut-il pour faire le même gâteau pour 9 personnes ?

La quantité de farine est proportionnelle au nombre de personnes.

Solution

Quantité de farine par personne = 300 g ÷ 6 = 50 g par personne
Quantité pour 9 personnes = 9 × 50 g = 450 g

Une voiture consomme 7 litres d'essence pour parcourir 100 km. Combien de litres sont nécessaires pour un trajet de 280 km ?

La consommation d'essence est proportionnelle à la distance parcourue.

Solution

Consommation pour 1 km = 7 L ÷ 100 = 0,07 L/km
Consommation pour 280 km = 280 × 0,07 = 19,6 L

Sur une carte à l'échelle 1:25000, deux villes sont distantes de 12 cm. Quelle est la distance réelle entre ces villes en kilomètres ?

Une distance de 1 cm sur la carte représente 25000 cm dans la réalité.

Solution

Distance réelle = 12 cm × 25000 = 300000 cm = 3000 m = 3 km

Un ouvrier peut construire un mur en 6 heures. Un second ouvrier peut construire le même mur en 8 heures. Combien de temps leur faudra-t-il pour construire ce mur s'ils travaillent ensemble ?

Calcule la fraction du mur que chaque ouvrier construit en une heure, puis additionne ces fractions.

Solution

Premier ouvrier : 1/6 du mur par heure
Second ouvrier : 1/8 du mur par heure
Ensemble : 1/6 + 1/8 = (4 + 3)/24 = 7/24 du mur par heure
Temps nécessaire : 1 ÷ (7/24) = 24/7 ≈ 3,43 heures

Une ville de 50000 habitants a un taux de croissance annuel de 2,5%. Quelle sera sa population après 3 ans ?

Utilise la formule de l'intérêt composé : Pn = P0 × (1 + t)^n, où P0 est la population initiale, t est le taux de croissance et n est le nombre d'années.

Solution

Population après 3 ans = 50000 × (1 + 0,025)³
= 50000 × 1,025³
= 50000 × 1,0763
= 53815 habitants

Problèmes de logique

Référence littéraire - Le Comte de Monte-Cristo

Alexandre Dumas

Dans cette scène, le tuteur enseigne les mathématiques en utilisant des problèmes concrets et significatifs pour son élève.

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Niveau 2 - Intermédiaire

Niveau 3 - Avancé

Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient l'anglais et 16 étudient l'espagnol. Combien d'élèves étudient à la fois l'anglais et l'espagnol ?

Utilise la formule : nombre total = (anglais) + (espagnol) - (les deux) + (ni l'un ni l'autre).

Solution

Si on note x le nombre d'élèves qui étudient les deux langues :
30 = 18 + 16 - x + (nombre qui n'étudie ni l'un ni l'autre)
Comme tous les élèves étudient au moins une langue, le dernier terme est nul.
Donc : 30 = 34 - x
D'où x = 4

Sophie a 5 ans de plus que son frère. Dans 3 ans, elle aura deux fois l'âge qu'avait son frère il y a 2 ans. Quel âge a Sophie maintenant ?

Pose l'équation en notant x l'âge actuel du frère.

Solution

Soit x l'âge actuel du frère.
Âge actuel de Sophie = x + 5
Âge de Sophie dans 3 ans = (x + 5) + 3 = x + 8
Âge du frère il y a 2 ans = x - 2
L'équation est : x + 8 = 2(x - 2)
x + 8 = 2x - 4
12 = x
Donc Sophie a 12 + 5 = 17 ans

Trois amis, Alexandre, Benoît et Charles, ont ensemble 90 billes. Alexandre a 3 fois plus de billes que Benoît, et Benoît a 5 billes de plus que Charles. Combien de billes a chacun ?

Exprime le nombre de billes de chacun en fonction du nombre de billes de Charles, puis utilise le total.

Solution

Soit c le nombre de billes de Charles.
Nombre de billes de Benoît = c + 5
Nombre de billes d'Alexandre = 3(c + 5) = 3c + 15
Total : c + (c + 5) + (3c + 15) = 5c + 20 = 90
Donc 5c = 70, d'où c = 14
Billes de Charles = 14
Billes de Benoît = 14 + 5 = 19
Billes d'Alexandre = 3 × 19 = 57
Vérification : 14 + 19 + 57 = 90

Dans une compétition de natation, il y a 3 médailles : or, argent et bronze. De combien de façons différentes peut-on attribuer ces médailles à 10 nageurs ?

Il s'agit d'un problème de permutation : on doit choisir 3 nageurs parmi 10 et les ordonner.

Solution

Nombre de façons = P(10,3) = 10! ÷ (10 - 3)! = 10! ÷ 7!
= (10 × 9 × 8 × 7!) ÷ 7!
= 10 × 9 × 8
= 720 façons

Un restaurant propose un menu où l'on peut choisir 1 entrée parmi 4, 1 plat principal parmi 6, et 1 dessert parmi 5. Combien de repas différents peut-on composer ?

Utilise le principe de multiplication : nombre de choix d'entrée × nombre de choix de plat × nombre de choix de dessert.

Solution

Nombre de repas différents = 4 × 6 × 5 = 120

Dans un club, il y a 5 garçons et 6 filles. On veut former une équipe de 4 personnes incluant au moins 1 garçon et au moins 1 fille. Combien d'équipes différentes peut-on former ?

Calcule toutes les équipes possibles de 4 personnes (parmi 11), puis soustrais celles qui n'ont que des garçons ou que des filles.

Solution

Nombre total d'équipes de 4 parmi 11 = C(11,4) = 11! ÷ (4! × 7!) = 330
Équipes de 4 garçons parmi 5 = C(5,4) = 5
Équipes de 4 filles parmi 6 = C(6,4) = 15
Équipes avec au moins 1 garçon et 1 fille = 330 - 5 - 15 = 310