Géométrie 5ème

Cours et exercices de géométrie pour élèves de 5ème

Triangles et quadrilatères

Référence littéraire - Flatland

Edwin A. Abbott

"Imaginez un monde plat, plat comme une feuille de papier, où les habitants ne sont que des figures à deux dimensions."

Cette œuvre de fiction présente un monde à deux dimensions, permettant de comprendre les propriétés géométriques de différentes dimensions.

Théorie

Triangles

Un triangle est un polygone à trois côtés.

Propriétés importantes :

  • La somme des angles dans un triangle est 180°
  • Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore s'applique : a² + b² = c²
  • L'aire d'un triangle est A = (1/2) × base × hauteur

Quadrilatères

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

Types de quadrilatères :

  • Carré : quatre côtés égaux et quatre angles droits
  • Rectangle : quatre angles droits, côtés opposés égaux
  • Parallélogramme : côtés opposés parallèles et égaux
  • Losange : quatre côtés égaux
  • Trapèze : une paire de côtés opposés parallèles
Triangle Carré Rectangle Hypoténuse a b c a² + b² = c²
Niveau 1 - Base
Niveau 2 - Intermédiaire
Niveau 3 - Avancé

Exercices

Dans un triangle rectangle, si un côté de l'angle droit mesure 3 cm et l'autre 4 cm, quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
Utilise le théorème de Pythagore : a² + b² = c²
Combien d'angles mesure un triangle ?
Compte le nombre de sommets ou de côtés du triangle
Dans un triangle, la somme des angles est égale à combien de degrés ?
C'est une propriété fondamentale des triangles, quelle que soit leur forme
Si un triangle a deux côtés de même longueur, comment l'appelle-t-on ?
Il existe trois types principaux de triangles selon leurs côtés : équilatéral, isocèle et scalène
Dans un triangle ABC, les coordonnées sont A(0,0), B(4,0) et C(2,3). Quelle est l'aire de ce triangle ?
L'aire peut être calculée en utilisant la formule A = (1/2) × base × hauteur, ou utilise la méthode des coordonnées
Si les trois médianes d'un triangle se coupent en un point G, à quelle fraction de la médiane (du sommet vers le milieu du côté opposé) se situe G ?
G est le centre de gravité du triangle

Cercles et angles

Référence littéraire - Le Petit Prince

Antoine de Saint-Exupéry

"Dessine-moi un mouton..." Et c'est ainsi qu'il dessina un rectangle avec trois trous. "Ça c'est la caisse. Le mouton que tu veux est dedans."

Le dialogue entre le narrateur et le Petit Prince aborde la représentation des formes et des volumes dans un espace limité.

Théorie

Cercles

Un cercle est l'ensemble des points situés à égale distance d'un point appelé centre.

Propriétés importantes :

  • Circonférence = 2πr ou πd (où d est le diamètre)
  • Aire = πr²
  • Un angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit (90°)

Angles

Un angle est formé par deux demi-droites ayant la même origine.

Types d'angles :

  • Angle aigu : mesure inférieure à 90°
  • Angle droit : mesure exactement 90°
  • Angle obtus : mesure supérieure à 90° mais inférieure à 180°
  • Angle plat : mesure exactement 180°
r Cercle C = 2πr, A = πr² 90° Angle droit 90°
Niveau 1 - Base
Niveau 2 - Intermédiaire
Niveau 3 - Avancé

Exercices

Quelle est la formule pour calculer la circonférence d'un cercle de rayon r ?
La circonférence est proportionnelle au diamètre, avec π comme coefficient
Quelle est la formule pour calculer l'aire d'un cercle de rayon r ?
L'aire est proportionnelle au carré du rayon
Un angle inscrit dans un demi-cercle est toujours égal à combien de degrés ?
C'est une propriété du cercle : tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit
Quelle est la mesure en degrés d'un tour complet ?
Un tour complet correspond à combien de degrés ?
Un secteur circulaire a un angle au centre de 60°. Si le rayon du cercle est de 10 cm, quelle est l'aire du secteur ?
L'aire du secteur est proportionnelle à l'angle au centre : Aire = (θ/360°) × πr²
Deux cercles de rayons 5 cm et 12 cm sont tangents extérieurement. Quelle est la distance entre leurs centres ?
Pour des cercles tangents extérieurement, la distance entre les centres est égale à la somme des rayons

Solides et volumes

Référence littéraire - Vingt mille lieues sous les mers

Jules Verne

"Le Nautilus décrivit un cercle parfait autour du récif corallien, mesurant avec précision la distance qui le séparait de cet obstacle naturel."

Jules Verne utilise des descriptions géométriques précises pour décrire les mouvements du sous-marin dans l'espace tridimensionnel.

Théorie

Solides

Les solides sont des figures géométriques en trois dimensions.

Types de solides :

  • Cube : 6 faces carrées
  • Pavé droit : 6 faces rectangulaires
  • Cylindre : 2 bases circulaires et 1 face latérale courbée
  • Pyramide : 1 base polygonale et des faces triangulaires
  • Sphère : surface courbe à égale distance du centre

Formules de volume

  • Cube : V = a³ (a = arête)
  • Pavé droit : V = longueur × largeur × hauteur
  • Cylindre : V = πr²h (r = rayon, h = hauteur)
  • Pyramide : V = (1/3) × aire de la base × hauteur
  • Sphère : V = (4/3)πr³ (r = rayon)
Cube V = a³ Cylindre V = πr²h r Sphère V = (4/3)πr³
Niveau 1 - Base
Niveau 2 - Intermédiaire
Niveau 3 - Avancé

Exercices

Combien de faces a un cube ?
Compte le nombre de surfaces carrées qui forment un cube
Quelle est la formule du volume d'un cube d'arête a ?
Le volume est le produit des trois dimensions du cube
Quelle est la formule du volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h ?
Le volume est le produit de l'aire de la base par la hauteur
Un pavé droit a pour dimensions 4 cm, 5 cm et 6 cm. Quel est son volume ?
Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions
Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 8 cm. Quel est son volume ?
Le volume d'une pyramide est (1/3) × aire de la base × hauteur
Une sphère a un rayon de 3 cm. Quel est son volume ?
Le volume d'une sphère est (4/3) × π × r³

Symétries et transformations

Référence littéraire - Le Petit Prince

Antoine de Saint-Exupéry

"Dessine-moi un mouton..." Et c'est ainsi qu'il dessina un rectangle avec trois trous. "Ça c'est la caisse. Le mouton que tu veux est dedans."

Le dialogue entre le narrateur et le Petit Prince aborde la représentation des formes et des volumes dans un espace limité.

Théorie

Symétrie axiale

La symétrie axiale, ou symétrie par rapport à une droite, est une transformation qui associe à un point son symétrique par rapport à un axe.

Propriétés :

  • Conserve les distances et les angles
  • Inverse l'orientation
  • Les points de l'axe de symétrie sont invariants

Symétrie centrale

La symétrie centrale, ou symétrie par rapport à un point, est une transformation qui associe à un point son symétrique par rapport à un centre.

Propriétés :

  • Équivalente à une rotation de 180°
  • Conserve les distances et les angles
  • Conserve l'orientation

Rotation

Une rotation est une transformation qui fait tourner une figure autour d'un point fixe selon un angle donné.

Propriétés :

  • Conserve les distances et les angles
  • Conserve l'orientation
  • Le centre de rotation est invariant
axe Symétrie axiale centre Symétrie centrale centre 90° Rotation
Niveau 1 - Base
Niveau 2 - Intermédiaire
Niveau 3 - Avancé

Exercices

La lettre A possède-t-elle un axe de symétrie vertical ?
Imagine une ligne verticale qui passe par le milieu de la lettre A
Combien d'axes de symétrie possède un carré ?
Pense aux lignes qui joignent les milieux des côtés opposés et les diagonales
Si les coordonnées d'un point sont (3, 4), quelles sont les coordonnées de son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ?
La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées change le signe de la coordonnée x
Combien d'axes de symétrie possède un cercle ?
Pense à n'importe quelle ligne qui passe par le centre du cercle
Si on applique une rotation de 90° dans le sens horaire autour de l'origine à un point de coordonnées (2, 3), quelles sont les nouvelles coordonnées ?
Pour une rotation de 90° dans le sens horaire, (x, y) devient (y, -x)
Si un triangle a pour sommets A(1, 1), B(4, 2) et C(2, 5), quels sont les sommets du triangle après une symétrie par rapport à la droite d'équation y = x ?
Dans la symétrie par rapport à la droite y = x, les coordonnées (x, y) deviennent (y, x)
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