Algèbre 5ème

Cours et exercices d'algèbre pour élèves de 5ème

Expressions algébriques

Référence littéraire - Alice au pays des merveilles

Lewis Carroll

"Voyons : quatre fois cinq font douze, quatre fois six font treize, quatre fois sept font... Oh ! mon Dieu ! je n'arriverai jamais à vingt de cette façon !"

Lewis Carroll (de son vrai nom Charles Lutwidge Dodgson) était un mathématicien passionné d'algèbre. Dans cette citation, Alice montre sa confusion face aux calculs, illustrant l'importance de comprendre les règles algébriques.

Théorie

Expressions algébriques

Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de variables et d'opérations mathématiques.

Exemples :

  • 3x + 2
  • 5y² - 7y + 1
  • 2(a + b)

Termes semblables

Les termes semblables ont les mêmes variables avec les mêmes exposants.

Exemples :

  • 3x et 5x sont des termes semblables
  • 2y² et -4y² sont des termes semblables
  • 7xy et 3yx sont des termes semblables
  • 4a et 2b ne sont pas des termes semblables

Opérations sur les expressions

Règles importantes :

  • Addition et soustraction : combiner les termes semblables
  • Multiplication : distributivité - a(b + c) = ab + ac
  • Factorisation : mettre en facteur les termes communs - ax + ay = a(x + y)
Niveau 1 - Base
Niveau 2 - Intermédiaire
Niveau 3 - Avancé

Exercices

Simplifie l'expression : 3x + 2x
Additionne les termes avec la même variable
Simplifie l'expression : 4y - y + 2
Combine les termes semblables
Développe l'expression : 2(x + 3)
Multiplie chaque terme à l'intérieur des parenthèses par le facteur extérieur
Factorise l'expression : 5x + 15
Cherche le facteur commun aux deux termes
Développe l'expression : (x + 2)(x + 3)
Utilise la méthode de distribution : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Factorise l'expression : x² - 4
Utilise la formule de la différence de carrés : a² - b² = (a + b)(a - b)

Équations et inéquations

Référence littéraire - Contact

Carl Sagan

"Les mathématiques sont le langage avec lequel Dieu a écrit l'univers." - Galilée

Dans ce roman de science-fiction, l'auteur utilise cette citation de Galilée pour souligner l'importance des mathématiques comme langage universel de compréhension.

Théorie

Équations

Une équation est une affirmation mathématique que deux expressions sont égales.

Principes de résolution :

  • Ce que l'on fait d'un côté de l'équation doit être fait de l'autre côté aussi
  • Le but est d'isoler la variable d'un côté de l'équation

Inéquations

Une inéquation est une affirmation mathématique qu'une expression est supérieure ou inférieure à une autre.

Symboles d'inégalité :

  • < : inférieur à
  • > : supérieur à
  • ≤ : inférieur ou égal à
  • ≥ : supérieur ou égal à

Note importante : lorsque l'on multiplie ou divise les deux côtés d'une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.

Systèmes d'équations

Un système d'équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations avec plusieurs inconnues.

Méthodes de résolution :

  • Méthode par substitution
  • Méthode par élimination
Niveau 1 - Base
Niveau 2 - Intermédiaire
Niveau 3 - Avancé

Exercices

Résous l'équation : x + 5 = 12
Soustrais 5 des deux côtés de l'équation
Résous l'équation : 3x = 15
Divise les deux côtés de l'équation par 3
Résous l'équation : 2x + 3 = x + 8
Soustrais x des deux côtés, puis soustrais 3 des deux côtés
Résous l'inéquation : 3x - 4 > 5
Ajoute 4 aux deux côtés, puis divise par 3
Résous l'équation : 2(x - 3) + 4 = 3x - 5
Développe le membre de gauche, puis regroupe les termes avec x d'un côté
Résous le système d'équations : x + y = 7 et x - y = 3
Additionne les deux équations pour éliminer y

Relations et fonctions

Référence littéraire - Le Petit Prince

Antoine de Saint-Exupéry

"Les grandes personnes adorent les chiffres. Quand vous leur parlez d'un nouvel ami, elles ne vous questionnent jamais sur l'essentiel. [...] Elles vous demandent : \"Quel âge a-t-il ? Combien a-t-il de frères ? [...] Combien gagne son père ?\""

Cette référence illustre comment les nombres et les quantités sont utilisés pour définir et catégoriser notre monde, une idée centrale en algèbre.

Théorie

Relations et fonctions

Une relation est une correspondance entre deux ensembles de nombres.

Une fonction est une relation spéciale où chaque élément du premier ensemble (domaine) est associé à exactement un élément du second ensemble (codomaine).

Notation fonctionnelle

Pour une fonction f, on écrit f(x) pour désigner la valeur de la fonction au point x.

Exemples :

  • f(x) = 2x + 3
  • g(x) = x²
  • h(x) = 3x - 1

Composition de fonctions

La composition de deux fonctions f et g est notée (f ∘ g)(x) et signifie f(g(x)).

Exemple : Si f(x) = 2x + 1 et g(x) = x², alors (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2(x²) + 1 = 2x² + 1

x
y
O
Niveau 1 - Base
Niveau 2 - Intermédiaire
Niveau 3 - Avancé

Exercices

Si f(x) = 2x + 1, calcule f(3).
Remplace x par 3 dans l'expression 2x + 1
Si g(x) = x² - 1, calcule g(4).
Remplace x par 4 dans l'expression x² - 1
Si f(x) = 3x - 2, quelle est la valeur de x pour laquelle f(x) = 10 ?
Résous l'équation 3x - 2 = 10
Si f(x) = x² et g(x) = 2x + 1, calcule f(g(2)).
Calcule d'abord g(2), puis applique cette valeur à f
Si f(x) = 2x - 3 et g(x) = x² + 1, calcule (f ∘ g)(2).
(f ∘ g)(x) = f(g(x)). Calcule d'abord g(2), puis applique f à ce résultat
Pour la fonction f(x) = 3x - 4, trouve la fonction inverse f⁻¹(x).
Remplace f(x) par y, résous pour x, puis échange x et y

Séquences et motifs

Référence littéraire - Alice au pays des merveilles

Lewis Carroll

"Voyons : quatre fois cinq font douze, quatre fois six font treize, quatre fois sept font... Oh ! mon Dieu ! je n'arriverai jamais à vingt de cette façon !"

Lewis Carroll (de son vrai nom Charles Lutwidge Dodgson) était un mathématicien passionné d'algèbre. Dans cette citation, Alice montre sa confusion face aux calculs, illustrant l'importance de comprendre les règles algébriques.

Théorie

Séquences et suites

Une séquence est une liste ordonnée de nombres qui suivent un motif ou une règle définie.

Types de séquences :

  • Suite arithmétique : chaque terme diffère du précédent par une valeur constante (la raison)
  • Suite géométrique : chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une valeur constante (la raison)
  • Suite de Fibonacci : chaque terme est la somme des deux termes précédents

Formules des suites

Suite arithmétique :

  • Terme général : an = a1 + (n - 1)d (où d est la raison)
  • Somme des n premiers termes : Sn = n/2 × [2a1 + (n - 1)d]

Suite géométrique :

  • Terme général : an = a1 × r^(n-1) (où r est la raison)
  • Somme des n premiers termes : Sn = a1 × (1 - r^n) / (1 - r) (pour r ≠ 1)

Motifs et règles

Pour trouver la règle d'une séquence :

  • Observe les différences entre termes consécutifs
  • Vérifie si ces différences sont constantes (suite arithmétique)
  • Vérifie si le rapport entre termes consécutifs est constant (suite géométrique)
  • Cherche d'autres relations possibles (carrés, cubes, etc.)
Niveau 1 - Base
Niveau 2 - Intermédiaire
Niveau 3 - Avancé

Exercices

Quelle est la règle de la séquence : 2, 4, 6, 8, ... ?
Regarde la différence entre chaque terme consécutif
Quel est le prochain nombre dans la séquence : 3, 6, 12, 24, ... ?
Chaque terme est multiplié par 2 pour obtenir le terme suivant
Quel est le 10ème terme de la suite arithmétique : 3, 7, 11, 15, ... ?
La raison de la suite est 4. Utilise la formule an = a1 + (n - 1)d
Quelle est la somme des 5 premiers termes de la suite : 2, 5, 8, 11, ... ?
Calcule chaque terme, puis additionne-les
Quelle est le 8ème terme de la suite géométrique : 3, 6, 12, 24, ... ?
La raison est 2. Utilise la formule an = a1 × r^(n-1)
Si une suite a pour terme général Un = 3n² - 2n, calcule U5.
Remplace n par 5 dans la formule du terme général
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